振動學 CH06-05 矩陣型式位能與動能

矩陣型式的位能與動能表示方法
Potential and Kinetic Energy Expressions in Matrix Form

在一個具有m個質量跟n個自由度x的系統中，可以試著將位能與動能根據各自由度與質量跟彈簧的彈性係數表示成以下公式：

位能：

在第i個自由度上，彈性位能(或稱應變能、變形能)可以表示成：

 總位能可以表示成：

因為力量可以用彈性係 kij 跟變形量 xi 表示：

總位能公式將力量改用彈簧跟變形量乘積代入：

將其中的變形量和改用矩陣表示為：

其中的彈簧矩陣 [k] 如下：

其中的跟分別為變形量的矩陣與轉置矩陣

動能：

類似的概念，在第 i 個質量上，有速度 ，該質點的動能可以表示如下：

總動能可以表示成：

改成以矩陣型式表示如下：

其中的各質點速度矩陣如下：

其中的質點矩陣可以表示如下：

系統中，其實可以選擇很多座標系統來表示位置關係，所以其實可以選擇不同的座標系統以便於進行矩陣的計算，但是其中如果座標值之間有相互的關聯性，計算上就會變成很複雜，所以計算上如果可以找到一個座標系統個座標值之間是獨立的，那矩陣的計算就會方便而且快速很多，一個符合獨立關係的座標系統，稱為"廣義座標"(generalized coordinates)，可以將以上的總動能矩陣改為：

其中的廣義速度矩陣定義如下：

相對的質量矩陣需要經過座標轉換改為：

其中的 mij 會等於 mji ，這種矩陣稱為"對角矩陣"(diagonal matrix)
因為質量不可能是負值，所以質量矩陣可以稱為"正定矩陣"(positive definite matrix)，總動能矩陣稱為"正定二次矩陣"(positive definite quadratic forms)。

同樣的位能矩陣因為有變形量的二次方型式存在，所以總位能矩陣也是正定二次矩陣，但是彈簧矩陣 K 中有可能出現負值，所以有可能出現當位移不為零時，總位能也會等於零，所以稱 K 矩陣為"半正定矩陣"(semi definite matrix)。

當一個系統由位能跟動能相互交換所組成，因為有半正定的K矩陣存在，所以通常可以視為是一個半正定系統。