用手機量測在高鐵上的振動

之前寫了一篇用手機量測振動訊號，跟一篇對手機量到的資料作傅立葉轉換的文章；
一直想要找個機會上高鐵用用看。

不過在離開軟體代理商的工作以後就幾乎沒有搭過高鐵，
原因很簡單：
貴！一個人搭高鐵板橋左營來回標準車票價格是2920。
而且抵達目的地以後沒有交通工具也很不方便。

旅遊時通常會利用自己家的車，
尤其是一台車坐滿4~5個人，省下的高鐵車票費用(12000~15000)也很驚人，
不算折舊、磨耗、稅金等養車費用，多人共乘開車確實比較划算；
所以到南部玩、拜訪親友我家都還是開車為主。

私人行程搭高鐵只有一次陪兒子去中山進行大學甄試趕時間坐高鐵。

而且我的體力還算不錯，我可以從五股上交流道直達台南中間不休息，
目前的紀錄是2個小時+45分鐘上台南交流道跟下五股交流道，
比板橋到台南高鐵站再轉車進台南市區，也差不了很多時間；
所以跟家人到台南我們多還是以自行開車為主，
加上去到台南，沒車也很不方便。

有時是不趕時間，沿途開車經過不同景點吃吃喝喝也不錯。

當然如果自己沒有車，除非有4、5人同行，否則租車跑就比高鐵還划不來。

公務就完全不同，一個人坐高鐵比開一台車在費用上的差距就沒有很大，
再來是公務上抵達目的地後還要費神費力處理事情，搭高鐵才是王道。

廢話一堆，回到標題，用手機量測在高鐵上的振動。

最近因為公務關係有機會再搭高鐵，
比較過先前在上海搭高鐵到蘇州的經驗，
坦白說，台灣高鐵的振動比中國的高鐵大很多，
而且感覺上越來越嚴重。

就以往日本出差時搭過日本高鐵的經驗，
我覺得主要原因之一我認為是地質造成，
軌道平整性相對中國來得差，應該不是日製系統差。

既然覺得振動大，那就利用手機來量測看看，到底多嚴重。

這一次量測的路段是高鐵經過雲林的路段，也就是地層下陷最嚴重的路段。

量測兩次，
第一次是放在餐桌上，座位是北上1車10D，
X方向是列車左右方向、Y方向是高鐵前進方向、Z方向是地面向上，
紀錄到的資料如下圖示：

放在桌上，X方向車廂左右

放在桌上，Y方向行進方向

放在桌上，Z方向地面向上方向

這種圖形很難看出甚麼東西，所以我們要用傅立葉分析把時域資料轉到頻率域，如下圖示：

從頻率域資料可以看到在XYZ三個方向會在某些頻率有特別的突起，這代表結構在該方向很容易跟一個固定頻率產生響應，所以很容易出現較大位移加速度。

至於這個頻率往往是外部的一個持續性負載，引發結構產生響應造成。
這個頻率跟外部振動源以及結構本身的自然頻率會有關係。

上述的資料是放在餐桌上量到的結果，所以結構包括了相對鬆散的餐桌結構。

所以第二次就把手機直接平放在車廂地板上，量測到的資料如下：

X方向，車廂左右方向，明顯變小
餐桌結構在左右方向有間隙，所以振動會比直放在地上大，合理

Y方向，車前進方向，明顯變小
餐桌結構在前後方向有間隙，所以振動會比直放在地上大，合理

Z方向，地面向上方向，差異不大，甚至變大
餐桌連結前座椅背等一連串機構，有機會藉由磨擦簡振，所以比直接放在地上小一點點，也算合理

從加速度最大最小值相對的變化來看放在餐桌跟地板上的差異，再想想結構上的力量傳遞路徑上的剛性與阻尼結構，會比較容易理解量測數值上的差異。

再來一樣作傅立葉分析：

從傅立葉分析的結構可以看到16.12/16.29這個頻率的出現，
這應該是一個外部的固定負載造成的加速度變化，
可能是輪子、軌道、速度綜合行成的一個振動源。

有興趣的可以試試看，在不同車廂、不同路段、不同速度下，可以用手機量到的資料，
跟可能的解釋。

設備振動要求

這裡的設備振動是指設備對設置環境的外界振動要求。

設備對外界環境的振動要求來自設備對精度有不同的要求，
例如高精度的原子力顯微鏡、電子顯微鏡、高倍率顯微鏡、半導體的曝光機等等，
這些設備精度要求很高，外界的振動有很大的機會影響到設備機能的表現。

其他像光學元件模具的鏡面加工，如果建物的振動沒抑制好，
若影響到對模具表面的微細加工狀態，表面這些數十奈米級的微小起伏可能就會影響到光學元件的表現。

光譜儀或奈米級的厚度量測，如果樣品跟讀取感測器之間的距離會因為建物傳進來的振動作用造成微小的距離變化，那量測到的值怎麼可能會準?!

以前唸碩班時，有振動實驗室同學作精密振動量測都要等晚上夜深人靜，
原因是沒有人會在走廊走動，甚至還會關掉所有日光燈，
目的就是要盡可能排除掉所有的振動源跟干擾源。

因此有些設備或量測儀器對對安裝環境的微振動會有相對很高的要求，
常常是超過人一般直覺上所能夠想像的。

為了避免影響精密設備，
針對建築物結構制定有振動規範標準，
這種規範標準跟建物的耐震考量完全不同，
建物的耐震要求承受地震作用時安全，不能傾斜、倒塌，
但是高精密設備對建物的振動要求是不能有會影響設備運作的微振，
跟一般認知的建物耐震考量與要求不同。

國際標準組織有制定一系列跟機械震動有關的ISO-10816標準，

國外學者依據不同設備的需求提出振動規範，
Vibration Criteria，簡稱VC，定義可參考如下圖示：

圖片來源 : Newport

在有關 VC 對振動敏感度或適用設備類型，也有很多資料整理。


若根據公式可以推導出到更高等級如VC-M的值，
但是實務上要高於VC-E已經是在建物結構上幾乎是很難達到的狀態，
通常會僅止於估算出數值作為評估之用，
可以參考minus k Technology網站說明。

在半導體工業進入奈米級線路以後，對建物的要求再加上了NIST-A跟NIST-A1的規範 :

這兩個規範可以說主要目的是在補充 VC 規範在低頻範圍的不足。


建築物(工廠)的振動來源可以分為內部跟外部：

內部振動源：包括工廠內的設備 、人或搬運車輛的移動。
以前在面板廠曾經有一個經驗是基板顯微鏡設備受到無人搬運車的影響，
原因是基板顯微鏡的放大倍率高達50倍以上，鏡頭的景深僅有10微米不到，
設備雖然已經使用花崗岩作基座吸隔震，
但是偶而就會發生取像模糊失敗的情形，
偏偏人在現場時都不會發生，
後來才發現是因為無人搬運車經過無塵室高架地板時造成振動，
該振動超出腳座跟花崗岩基座的隔振能力，
使得顯微鏡頭跟玻璃基板之間的距離變化會超過景深範圍，導致取像模糊，
解決方式是補強附近的高架地板與增加隔振阻尼設計，或無人搬運車通過該設備附近時降低速度，或者是將設備移到其他遠離振動源的位置。

外部的影響如經過的重載車輛、建築工地打地樁 、風力 、地震等等，
只要會對建築產生作用力的都會影響到建物發生微振動 ;
外部的影響例如南科附近興建高鐵路線跟對半導體廠的影響，
在高鐵興建當時也被討論了好一陣子。
另外就是每次地震發時，這些半導體廠的在製品，有可能就因為機構晃動而產生不良，整批報廢。

建物各種震動源，圖片來源：Laser Focus World

對建築物施加力量作用的機制是：
1. 建物結構受到力量作用以後產生變形，
2. 當力量消失後，結構會回復未受負載的未變形狀態

但是就像彈簧快速受壓然後放開的回彈現象，結構在受力釋放後也會產生回彈的效應，
這個回彈的效應會使結構產生來回往復晃動直到能量消耗殆盡後才會停止晃動，
這個能量的消耗必須依靠阻尼，包括系統結構的阻尼跟結構材料本身的阻尼。
所以建築物的結構設計會牽涉到能不能把這些內部 、外部振動源的傳播行為抑制下來。

除了建物結構設計必須克服以外，

在工程業界，高科技產業廠房對振動的需求，衍生出有些公司開始提供建物震動的量測服務，
幫高科技公司找出建物在不同位置的振動狀態，
評估設備預計置放位置的適用性與改善對策，
這一類服務在台灣這種地狹人稠、地震多的環境中其實很重要。
作得最好的應該是台積電，
之前曾經受邀討論過管道在地震作用下的晃動模擬，
隨口問有建物的振動量測資料可以參考作為邊界條件輸入嗎？
工程師想都沒想就回答說有，
但是對小一點的公司，要花錢作這一段有時就有點困難了...

參考資料 :
Newport website, Tutorial : Environment Vibration Criteria
Laser Focus World, Vibration Control : How to determine your equipment needs ?

振動量測在設備上的應用

先前有提過使用手機量測振動的應用，跟使用Excel作 FFT的方法，
接下來要分享一下如何應用在設備上。

先說一下跟我有關"振動"的故事，
第一次接觸到"振動"相關知識是在碩班，
因為固力組必修"振動學"，所以就上了一學期的課程，
但是為研究方向不是在相關領域，
上課內容上很多東西早就忘的差不多了，
對老師上課過程中，印象最深的就剩下兩件事：
1. 傅立葉轉換將時域量測到的資料轉換成頻率域，找出振動頻率。
2. 潛水艇的振動頻譜就是每一艘潛水挺的身分證，包括船也是。

某柴油潛艇的頻譜，圖片來源：ReachGate

後來看了一些軍事小說、網路資料，
某大國會在各大洋、重點航道、港口都會嘗試佈設水下聽音系統，
美其名是作海洋調查，其實真正目的是要記錄每一艘船隻的振動頻譜。

潛水艇在水中的"眼睛"就是"聲納"，
透過聲納擷取海水傳遞的聲音就像人的眼睛看東西一樣，
可以獲得很多資訊，
每艘船因為設計、製造、組裝、運轉時間長短的關係，
結構上會有一定的共振頻譜跟運轉機械產生的振動頻譜，
共振頻譜必須透過激振才能誘發出來進行量測，
運轉中的機械剛好就是一種激振源，
使結構產生不同的響應，
這些響應就會透過結構介面傳遞到潛艇的外殼，
使得外殼產生微小的週期性變形，
再傳遞到海水中往四面八方擴散開，
因此如果能夠擷取到這些訊號，
就像眼睛看到一樣，
有機會可以辨識出船的身分跟其位置，
再據以鎖定...

所以"振動"這個領域的研究，
基本上在潛艇工業上是一個非常重要的項目。

還有在航太載具，包括太空船、飛機、衛星等，
路上跑的汽車、機車、軌道車輛等等各種工業上也都非常的重要。

但是振動在這些領域上的重要性主要在於防止破壞與提高乘客的舒適性，
原因是振動本質上就是結構材料的彈性與受變動力變形的關係，
變動力會造成結構承受反覆的拉壓作用，
這種反覆作用會使材料有發生疲勞破壞的可能性，
實務上疲勞破壞在一些承受動態負載變化的設備上，
可以說是最主要的結構破壞原因，
尤其像飛機，機翼的振動 、反覆起降都對結構造成很大的振動，
必須小心估算其使用壽命實施檢測以確保安全。

同樣的道理，在機器設備上，
對振動的量測，可以視為對設備運作狀態的偵測。

當材料微細結構上的劣化、變性，導致承受力量的截面積產生變化，
這個微細的變化，會改變結構的剛性(彈性係數)，
使得頻譜發生細微的改變，
所以如果能夠偵測到機器在正常運轉下的頻譜，
就取得一個基本的參考值，
當頻譜發生變動時，就可以作為發生異常前的警示。

當然也可以延伸用聲音偵測來預測，也是同樣的道理。

最明顯的例子就是軸承磨損後噪音變大。

市場上有些公司就是靠振動量測服務，
協助廠商進行設備健康狀況的監測，
尤其是一些重要的廠務設備或精密設備。

手機在振動量測上的應用

以前要作振動量測，
基本上就是一個高專業度 、高難度的工作，
首先必需要有專業的儀器搭配專業的技術人員，
取得資料後進行專業的量測與專業的分析，
看到這麼多“專業”，
識相的就知道這是需要很多$$$才能完成的工作。

不過敗現代科技之賜，
幾乎人手一機的手機上就有量測振動的工具，
手機裡面內建有線性加速度的感測器，
可以偵測X、Y、Z三個方向手機移動的加速度。

所以專業的儀器問題解決了一半，為什麼是一半後面會解釋。

想知道自己手機具備那些感測器？
可以透過app偵測手機中有那些感測器，
只要在app store或Play 商店中輸入“device test”、“sensor test”等，
就可以找到許多可以用來偵測手機中各式元件的手機軟體，
包括偵測感測器的有、無跟數值狀況，
例如 Z-Device Test、Senze it All等等軟體，
都可以用來偵測手機中有那些感測器。

Z device test的畫面
中間有一個LINEAR ACCELERATION就是線性加速度

點選"LINEAR ACCELERATION"就會進入感測器的狀況畫面如下：

不過這些軟體通常只是讓使用者偵測感測器，
並沒有提供資料記錄的功能，
所以並需要再找其他的軟體來記錄。

最近找到一個沒有擾人廣告，又可以免費記錄資料跟傳送的軟體：Bosch的iNVH。

進入後的畫面，可以選擇量測噪音或振動
上圖為噪音量測

振動量測

點選左下的"Raw Data"就可以進入線性加速度的量測畫面如下圖示：

線性加速度數值畫面

操作上很簡單，點選紅色按鈕開始錄影記錄資料，
點選右上角的工具圖形可以進入可以進入設定畫面，
點選右上角的螢幕圖形可以進入全螢幕顯示畫面，
點選右邊下方是放大、縮小、回到1：1跟從新開始。

進入設定畫面如下：

可以設定取樣頻率為"Fastest"、"Game"、"UI"、"Normal"四種等級。

可以設定XYZ三軸出現與否。

勾選 "In Space Mode"可以忽略重力。

可以設定Y軸的尺度，預設是 10 m/sec^2，
最小可以修改為 1 m/sec^2。

也可以設定要顯示的軸向方向：X、Y、Z，
跟各軸表示的顏色。

設定完成後就可以點選紅色圓圈開始記錄資料。

像我的手機 Sony Xperia Z5C，
設定在"Fastest"時，資料記錄的頻率約225Hz，
所以如果要記錄超過1024筆資料，
大概要記錄超過5秒鐘以上，
如果要記錄到4096筆資料以上，需要20秒左右。

所以要記錄多少的資料量跟時間長度需要根據振動源頻率跟需要的資料數來計算。

當開始記錄以後，紅色圓圈會變成黑色正方形，
再按一次就會停止記錄資料，
接著會跳出儲存檔案要求給名字的對話視窗，
給好名稱存檔就可以，如下圖示：

再來是要將資料傳到電腦上，
使用電腦版的Excel作傅立葉分析
回到"Vibration"畫面，選擇右上角功能按鈕，選擇"Data folder"，如下圖所示：

app會列出資料夾中目前的檔案，點選準備要處理的檔案如下圖示：

也可以點選檔案顯示資料如下圖示：

作完傅立葉分析後就可以得到振幅 vs 頻率的圖形，
其中振幅特別高的部分會被視為主要的振動源，請參考另外一篇網誌說明。

要注意的是，手機的外殼 、保護膜 、跟手機結構都會形成不同的彈簧效應，
手機內組裝結構在受力時可能微幅滑動產生的阻尼效應會造成頻率偏移，
所以手機對振動的感知測能力會有某些振動源頻率被隔離掉，或偏移的現象，造成取得的資料失真。
另外一個問題使手機中的感測器規格上有一定的範圍限制，太高太低的都無法感測到。

安裝位置、空間限制、固定方式不牢靠，人按啟動量測與結束量測對信號的干擾等等也都是大問題。

所以說拿手機當作專業的振動量測儀器只解決了一半，
拿來量著玩、練習還可以，要準確還是力有未逮。

如果需要其他手機內建感測器作量測，最近找到一個 phyphox，還可以遠端(內網)從電腦看數據資料。

所以如果要量測準確的資料，
還是要乖乖的找加速度計，
貼在結構上的適當位置，
才能量測到正確的資料，
手機上的振動量測基本上還是定位在方便 、簡單 、低成本、練習、學習的方案，
並不能取代專業振動量測裝置。

使用Excel進行快速傅立葉轉換

快速傅立葉轉換 (Fast Fourier Transformation，FFT)，
一般是大學工程數學會上的內容之一，
但是坦白說，對學生來說，根本不知道會用在哪？
老師如果又沒有用鮮明的例子說明，
後面課程又沒用到的話，
大概就會把FFT忘的一乾二淨，
像我就是...

後來碩班唸固力組，有一門必修是振動學，
因為會提到將時域量測資料轉換到頻率域的資料圖表處理需要用到FFT，
那時候就有留下一個印象：

FFT可以將時域資料轉換到頻率域。

但是因為主要方向在FEM，
所以對FFT的認知也就僅此為止。

後來因為工作上的需求，
需要量測時域資料並轉換到頻率域進行分析，
所以才又開始找FFT的資料與處理的方法，
相信有些朋友的狀況應該跟我很類似，
所以把網路上找到的資料整理跟大家分享心得。

要作FFT通常是因為取得一份時域的量測資料，
一般常見的格式是 (t, A)，

t 就是紀錄的時間，sec。

A是記錄到量測值，
例如等一下用來當例子的加速度值，m/sec²。

這個資料要從哪邊來？
當然看各位自己有什麼來源，
基本上有手機的幾乎都有這個資料產生的來源，
可以參考另外一篇：使用手機量測線性加速度。

要作FFT其實可以不要去想寫程式這一類複雜的事情，
也不要去要買甚麼Matlab之類的數學計算軟體，
可以利用大家熟悉的excel功能來完成。

以下以EXCEL 2010為例。
首先需要先開啟(載入)Excel一項“分析工具箱”功能，步驟如下：

1. 點選：左上角"檔案"，選擇下方的"選項"，

2. Excel 選項對話視窗中找到 "增益集"這個項目，選擇後按執行。

3. 會跳出"現有的增益集"對話視窗，
建議可以載入 "分析工具箱"、"分析工具箱-VBA"、"規劃求解增益集"這三個，
也可以全選載入。

4. 載入增益集以後，
就會在功能表的"資料"中看到"分析"，
如下圖示：

再來是準備資料跟處理，
Excel中的 FFT資料數量必須為2的次方，
例如 32、64、128、256、512、1024、2048、4096。

資料量可以多取，盡量超過1024筆，
最好可以到Excel的極限4096筆資料，
如此一來結果的頻率的解析度會比較高。

取樣頻率看儀器的能力與需求，
對高頻來說，取樣頻率越高越好，才能找到高頻的訊號源。
對低頻震動，可以取低一點的取樣頻率，
否則Excel的資料筆數（4096）會不夠涵蓋完整的週期。

有了記錄時域的資料，
就可以使用“資料”-“分析”-“資料分析”指令，
點選後會出現分析工具選擇對話視窗如下：

從其中找到“傅立葉分析”指令，
點選後按下確定，會跳出對話視窗如下：

對話視窗分成兩個部分：輸入與輸出選項，
輸入部份只需選擇記錄的資料部份，
不需要時間的資料，記得資料數量要是2的次方，
例如2^7=128，選擇或輸入從E6欄位到E133欄位。

輸出的部分例如可以選擇輸出到新的活頁簿、工作表或者是現有工作表的不同欄位，
例如輸出到 F6~F133。

傅立葉分析工具對資料欄位的處理不是即時性的，
所以如果欄位資料有更新，
就必須重新執行一次，以取得新的計算結果。

輸出的資料形式是複數型式 (real + image*i)，
所以必需再用IMABS函數取出複數的絕對值，
例如：1+1i，取出來的絕對值相當於 1.414，就是"根號 2"。
若以前述的加速度範例來說，
就是加速度的振幅。

但是要輸出成頻域的圖表時，
還必須計算頻域在圖表X軸向的座標值，
此時就必須要用到資料的時域資料，
例如每隔0.1秒取一次資料，
那取樣頻率就相當於是10 次/秒，
因為取了128筆資料作分析，
所以在圖表X軸上就是10Hz/128=0.078125Hz的頻率解析度。

因為傅立葉分析的特性關係，
資料可以取其中一半來看，
也就是可以看到從 0Hz 到 128/2*0.078125=5Hz 左右的振幅變化。

所以圖表橫軸是0～5Hz，
縱軸是m/sec^2，

從圖表中可以看到特別突起的振幅，
跟對應的頻率值，
從振動的角度來看，
代表在該頻率有一個外部作用力持續提供一個作用力給機構，
使機構在該移動方向獲得一個加速度。

若是使用敲擊方式，那就是測量該位置的自然頻率，振幅值反而是無關緊要。

回過頭來看FFT的一些限制：

(a) 取樣率若是太低，高頻的資料就看不到，所以取樣速率(Sampling rate)須為受測信號最高成分頻率的兩倍或兩倍以上 (Nyquist sampling theorem)；例如信號頻率是 1Hz，那取樣速率至少每秒要有2個以上(2Hz的取樣頻率)。

(b) 取樣週期(取樣時間長度)至少要超過一次以上的週期時間長度，才能取得完整的週期變化資料。

(c) 如果受測信號是隨機的，FFT的結果其實就看不到明顯突出的訊號，所以受測信號必須是週期性的，FFT才有意義。

(d) 取樣數須為 2 的次方個資料。

提供Excel連結範例。

其他相關參考：
手機在振動量測上的應用
用手機量測在高鐵上的振動
振動量測在設備上的應用
Vibration Analysis, MIDE

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振動學 CH0801 連續系統簡介

Chapter 8 Continuous Systems

連續系統(continuous systems)又稱為分佈系統(distributes systems)。

8.1 Introduction

相對於離散系統(discrete systems)很清楚的可分離出來有限數量的質量、阻尼、彈簧等元件，連續系統(continuous system)中材料的連續性很難將質量、阻尼、彈簧分離成個別元件獨立出來，因此若將連續材料切割成小塊，相對離散系統來說連續系統可以說有無窮多的小塊(自由度)存在。
因為連續系統具有幾乎是無窮多的自由度，相對的存在有無窮多的模態與對應的自然頻率，所以連續系統又可以稱為具有無窮多自由度的系統(a system of infinite degrees of freedom)。

連續系統的運動方程式是偏微分方程式型態，與離散系統運動方程式的常微分方程式相比，大量的偏微分方程式很難進行手算求解；對連續系統要找出模態跟自然頻率時邊界條件更是
非常的重要；雖然困難，但是因為離散系統的簡化模型準確度通常不如連續系統模型，加上電腦計算能力越來越強，可以輔助進行複雜自由度的計算，所以離散系統模型的應用可以說誒來越普遍。
不過還是可以依據模型的狀態，評估分析、設計、計算時間需求與限制來選擇適當的離散系統模型進行分析可以有助於理解振動的原理與特性。

連續系統模型的分析可以先從一些簡單的弦(strings)、柱(bars)、軸(shafts)、樑(beams)跟薄膜(membranes)等開始；可以將一小段的結構如弦、柱、軸、樑或一小片的薄膜視為一個自由物體(free body)，利用牛頓第二運動定律導出其受力狀態，再進行積分並代入邊界條件與初始條件使用無窮級數的進行求解，即可獲得無窮多的自由頻率與模態，而系統的反應就是由這窮多的級數相疊加結果所呈現。

一般的結構分析軟體幾乎都有支援連續系統的特徵值模擬計算，例如我比較熟悉的 Inventor 應力分析跟 Nastran In CAD 中的"模態分析"都是在模擬計算連續系統的特徵值。

Inventor應力分析的模態模擬分析簡介可以參考：
模態基本概念
模態模擬設定
模態結果解釋與改善

振動學 CH0803 柱或桿的軸向振動

8.3 Longitudinal vibration of a bar or rod

8.3.1 運動方程式

Equation of motion and solution

具有變動斷面積 A(x) 的桿件，在軸向上受到作用力 P(x)，如下圖(a)所示：

取其中一小段長度 dx ，其受力與變形量的關係如上圖(b)可以表示如下公式：

其中 E 是材料的楊氏係數。

其運動方程式可以表示如下：

其中 f = f(x,t)為任一位置 x 截面在時間 t 時的作用力函數，ρ 是質量密度。

參考前例弦，將 dP 以 x 作偏微分，並將 P 以公式 8.45取代代入 8.46式，可以改寫公式如下：

如果斷面積 A(x) 為常數 A，8.47公式可以簡化如下：

對自由振動來說，f = 0，公式 8.48 左右兩側消去 A，並將 ρ 移到等號右側，並令 c² = E/ρ ，可以改寫如下：

參考前一節弦振動的解法，桿的位移公式 u 可以表示如下：

其中省略了級數的表示，同樣的，邊界條件 u 可以解出 A & B，初始條件可以用來解出 C & D。

不同邊界條件情況，對應的解如下圖所示：

範例 8.2 桿的邊界條件 

Boundary conditions for a bar

固定截面積 A，長度 l，材料楊氏係數 E 的桿件，頭尾端各連接一組彈簧 k、阻尼 c 與質量 m，如下圖(a)所示：

兩個質量的自由體圖如上圖(b)所示，左端的力平衡程式可以表示如下：

右端的力平衡方程式可以表示如下：

8.3.2 正規方程式的正交性

Orthogonality of normal functions

Ui(x) 跟 Uj(x)分別為第 i 跟第  j 個對應到自然頻率 ω_i 跟 ω_j 的正規方程式，u = Ui(x)T(t) 跟 u = Uj(x)T(t)，將 i , j 兩個分別代入公式8.49，可以得到以下的表示公式：

將公式 8.54 * Uj(x) 減掉 公式8.55 * Ui(x)，並移項後對 x 進行 0~l 積分後可以得到以下公式：

將任意的邊界條件代入以上公式，可以得到右邊項目為 0 ，留下 Ui(x) 跟 Uj(x) 正交性的結果：

範例 8.3 一端固定一端自由的桿自由振動
Free vibration of a fixed-free bar

固定端邊界條件： u(0,t) = 0
自由端邊件條件： 

觀察公式：

將邊界條件 u(0,t) = 0 代入，可以得到 A 為 0
將邊界條件 代入，可以得到 B 不能為零，sin (ωx/c) 的微分 cos (ωx/c) 必須為 0，可以得到  ω_nl/c = (2n+1)*π/2，所以自然頻率如下：

代入公式8.49可以得到：

其中 C_n 跟 D_n 必須從初始條件進行計算，可表示如下：

範例 8.4 桿末端帶一質量的自然頻率

Natural frequency of a bar carrying a Mass

如下圖：一端固定，一端自由移動攜帶一個集中質量M的桿模型：

固定端邊界條件 u(0,t) = 0，會使公式8.49的 A 為0

在自由端因為附加一個集中質量 M，所以不能使用這個邊界條件，必須考慮質量所帶來的力量效應，考慮末端的力量跟集中質量的力平衡，公式如下：

將公式 8.51帶入上述E.2公式，可以得到：

左右消去相同項目，並簡化移項後可以得到：

不同質量的比例 β 可以得到不同 α  ，如下表前兩個自然頻率所示：

當桿的質量遠小於桿末端的質量時，整個系統會變成一開始所介紹的離散系統單一質量 M，等效彈簧係數 k 為桿性質 EA/l 的狀態。

範例 8.5 受初始力作用的桿振動

 Vibrations of a bar subjected to initial force
桿一端固定，另一端為自由端受一個初始力量作用，如下圖示：

受力 F₀ 作用，會使桿末端具有一個初始位移，可以表示為如下：

同時因為靜止不動，所以初始速度為 0

因為一端為固定、一端為自由移動，所以可以使用範例8.3的結果：

自由端的初速度為 0，所以D_n 必須為 0，至於 C_n 可以將公式 E.1 代入 C_n 的計算公式如下：

再將 C_n 代入公式 E.3可以得到：

由公式 E.3 跟 E.5 可以觀察得到：

振幅為：
頻率為：