振動學 CH0503 無阻尼系統自由振動

Chapter 5.3 Free vibration analysis of an undamped system

如上圖，應用於自由振動系統，f = 0；無阻尼，c = 0
運動方程式改為：

假設x1, x2都是簡諧振動的型式，將x1 & x2分別表示如下：

其中X1 & X2為常數，φ為相角 (phase angle)
代入eq  5.4 & 5.5整理後可以得到：

為了要滿足在任意時刻為0的條件成立，cos的係數項必須為0，因此就可以得到：

排除靜態的狀況 (X1, X2 = 0)  ，X1 & X2 的係數行列式必須等於0：

可以推導得到：

利用求解一元二次方程式公式，可以得到：

其中的ω1 & ω2就是系統的自然頻率。

解出ω1 & ω2的值以後，就可以計算X2/X1的比值如下：

因為有兩個自然頻率對應到兩個比值，所以兩個質量的位移比值也會有兩組，可以表示如下：

將x1(t) = X1 cos(ω1t+φ1)代入eq 5.12，可以得到：

若已知初始位置或初始速度，就可以試著代入解出X1, X2,  φ1, φ2。

實在是一個浩大的工程...