振動學_CH05-05 座標耦合與主座標軸

Chapter 5.5 Coordinate coupling and principal coordinates

一個多自由度系統往往可以用許多種座標形式來描述，例如在Figure 5.1中的車床，也可以描述成以下圖示的系統：

圖片來源：Mechanical Vibration 5th S.S. Rao

例如圖5.12(a)的系統，系統運動方程式可以表示成：

質量慣性運動方程式

轉動慣量運動方程式

整理成以矩陣方式來表示

在矩陣方程式中，很明顯地若 k1xl1 = k2xl2 時，所有矩陣(質量矩陣M跟彈簧矩陣K)的耦合項都是零，將變成可以獨立求解系統，可以各別獨立計算。

如果以圖5.12(b)的系統來表示，系統運動方程式可以表示成：

運動方程式

矩陣型式方程式

此時的質量矩陣耦合項不為零，若當 k1xl1 = k2xl2 時，僅剩下質量矩陣不是對角矩陣 (diagonal matrix) 的系統稱為動態耦合 (dynamic coupling) 或 慣性耦合 (inertial coupling)

如果可以將阻尼項加入，表示成一般的型式如下：

一般通用型式的運動方程式

如果質量矩陣M中的m12不為零，稱為質量耦合 (mass coupling) 或 慣性耦合 (inertial coupling)

如果阻尼矩陣C中的c12不為零，稱為阻尼耦合 (damping coupling) 或 速度耦合 (velocity coupling)

如果彈簧矩陣K中的k12不為零稱為彈性耦合 (elastic coupling) 或 靜態耦合 (static coupling)

從5.21到5.25很明顯可見，一個系統因為座標系統的選擇關係，會形成不同的耦合狀態，相對的，如果從5.25轉變成5.23，至少可以讓質量矩陣變成對角矩陣，如果可以再找到讓彈簧矩陣變成對角矩陣，計算上就會變得更方便，這時候的座標系統就稱為主座標系統 (principal coordinates)。