振動學 CH0802 弦或纜繩的垂直振動

8.2 弦或纜繩的垂直振動

Transverse vibration of a string or cable

8.2.1 運動方程式

考慮一個被輕微拉緊，長度為 l ，具有彈性的弦或纜繩，受到一個在垂直方向隨時間改變的單位長度力量 f(x,t) 作用，弦受力作用產生平衡的對應垂直方向變形量為 w(x,t)，如下圖 8.1 (a)所示：

圖片來源：Mechanical Vibration, 5th, by S.S. Rao，以下同

假設小範圍長度 dx 中的變形量很小，變形與力量的平衡狀況如上圖 8.1(b) 所示，可以將運動方程式表示如下：

在這個長度 dx 的小段弦上，P 是弦的張力，ρ 是單位長度的質量，θ 是弦變形後與 弦長度方向 x 的角度。
弦張力的改變量 dP 可以改為跟 dx 有關，以偏微分形式來表示如下公式：

因為是在一段很小的 dx 範圍中，θ 很小，所以 sinθ 可以表示如下公式：

以及：

將 8.2 ~ 8.4 代入到公式 8.1，並消去左右兩側的dx，可以改以偏微分方程式方式表示如下：

假設張力 P 為常數，單位長度質量 ρ(x) 固定不變為常數 ρ，8.5式可以修改如下：

當受力 f(x,t) 為零時，就可以得自由振動的公式，並將 ρ 移項到等號左邊與 P 合併並以 c² 表示來表示：

公式 8.8 又可以稱為"波公式"( wave equation)，其中 c² = P/ρ。

8.2.2 初始與邊界條件

從公式8.5到8.7是二次偏微分方程式，若要求解 w 相對 (x,t) 的值，需要至少兩個邊界條件與兩個初始條件。
弦的初始條件 (t=0) 有一個已知的變形量 w₀(x)，跟 初速度，初始條件可以表示如下：

 

假設弦的邊界條件在其中一端 (x=0) 的位置是固定不動的，在 x=0 的邊界條件可以表示如下：

假設弦的另外一端是固定在一個不能平移，可以上下移動，可以轉動的樞紐點上，如下圖示：

這一個端點可以上下自由移動，所以無法承受並抵抗任何上下方向的作用力，在 x=l 的邊界條件可以表示成：

如果在原點端也是可以自由上下移動跟轉動的，而且弦的張力 P 是常數，也就是公式 8.12中的 P(x)≠0 ，所以在 x=0 的邊界條件就必須是：

假設還有一種邊界條件，末端是可以自由上下移動跟轉動的樞紐點，並接在一個上下方向的彈簧，如下圖 8.3 所示：

那邊界條件可以表示成：

以上是三種經常使用到的邊界條件，當然還有接到阻尼器的狀況或者是彈簧加阻尼器等不同的狀況可以列出不同的邊界條件。

8.2.3 均勻材質弦的自由振動

公式 8.8 的自由振動型式：

可以使用分離變數法來進行求解，將 w(x,t) 改寫成 W(x)T(t) 並代入到公式 8.8 中，改成：

如果在任何獨立位置 x在獨立時間 t 時讓等號左右兩邊相等，等號兩邊必須等於一個常數 (假設是a) ，可以表示如下：

所以可以分別處理公式 8.16 左右兩邊等於常數 a 的關係式並移項如下：

 

這兩個方程式跟之前離散系統的自由振動方程式 x''+ ω² x = 0 型式非常類似，所以如果將 a = -ω² 代入到公式 8.18 & 8.19中，如下：

其解的型式可以表示如下：

其中的 A、B / C、D必須從邊界條件/初始條件計算取得，如下說明。

8.2.4 兩端固定弦的自由振動

兩端固定的弦，為了要滿足這兩個邊界條件 W(0) = 0 跟 W(l) = 0，公式 8.22 中的 A 必須等於 0，所以可以得到以下關係：

因為不可以讓 B 等於 0，否則全部等於 0 就不用解了，所以要讓三角函數項目為 0 ，如下：

如果要讓三角函數 sin X 為零，必須讓  X 等於 nπ，從公式 8.27 可以得到：

使用公式 8.22 && 8.23 代入到 w(x,t)=W(x)T(t) ，可以得到對應到 ω_n 的一組解如下：

其中 C_n 跟 D_n 是任意的常數值， w_n(x,t) 稱為弦的第 n 階振動(或簡諧"harmonic"或正規"normal")模態"mode"。
意義上就是在任一時間點時，弦上各點的位移會以 W_n (=sin nπx/l) 的比例出現，如下圖所示顯示 n=1, 2, 3的在某一時間點時弦的位移狀態：

其中 n=1 時稱為基礎模態"fundamental mode"，此時對應的頻率 ω=cπ/l 稱為基礎頻率"fundamental frequency"，基礎週期 τ₁ = 2π/ ω₁ = 2l/c。

W_n 在某些位置的 x 值時會使 sin nπx/l 等於 0，也就是不管時間怎麼改變，在這個位置 x， 弦都不會產生位移，這個位置 x 稱為節點"node"，從公式跟圖8.4可以發現節點在第 n 階模態時不同的位置與弦長度的比例關係。

實際上的解可以利用模態疊加法(mode superposition method)將這無窮多的模態 w_n(x,t) 全部加總起來，如以下公式：

以上使用模態疊加法計算的結果不論是自由振動或強制振動都適用。

邊界條件決定了 W(x) = W_n (=sin nπx/l)，T(t) 則跟初始條件有關，所以 C_n 跟 D_n 必須由初始條件來計算求得，如下公式：

從公式 8.31 & 8.32， C_n 跟 D_n 是初始條件 w₀(x) 跟 在 0≦x≦l 的傅立葉級數的展開，可以從 x=0 積分到 x=l，公式表示如下：

範例 8.1 弦被拉起、放掉的動態響應 ( dynamic response of a plucked string )

如下圖 8.5，一條弦在中間位置被拉起然後放掉，計算其隨後的動作。

根據公式 8.34，初始速度為 0，Dn = 0，公式 8.30 可以簡化如下：

根據圖8.5，初始位移可以表示如下：

代入公式 8.33，如下：

其中只有 n 為奇數時才有值，代入公式 E1，可以得到位移量的級數如下：

8.2.5 行進波的解

Traveling-Wave Solution

考慮波在x軸的正負方向以速度 c 傳遞前進，可以將公式 8.8 表示如下：

若將上面公式8.35進行微分可以得到：

再將以上公式代回去公式 8.8，可以滿足並成立，因此公式 8.36 跟 8.37是正確的。

對一個給定的問題，函數 w₁跟w₂由初始條件決定，在 t=0，將公式 8.35 代入到公式 8.10，可以得到：

將 8.39 公式進行積分，並將c移到等號右邊可以得到：

由公式 8.38 跟 8.40 相加、相減可以得到：

將 x 改以 (x-ct) 跟 (x+ct)代入，可以得到：

在公式 8.43 中可以知道不需要任何邊界條件即可求得行進波的函數，另外可以將行進波的函數表示為：

其中 w_D(x,t)為在初速為零時，在已知初始位移情況下的行進波， w_V(x,t)在初始位置為零時，在已知初始速度情況下的行進波。