使用Excel進行快速傅立葉轉換

快速傅立葉轉換 (Fast Fourier Transformation，FFT)，
一般是大學工程數學會上的內容之一，
但是坦白說，對學生來說，根本不知道會用在哪？
老師如果又沒有用鮮明的例子說明，
後面課程又沒用到的話，
大概就會把FFT忘的一乾二淨，
像我就是...

後來碩班唸固力組，有一門必修是振動學，
因為會提到將時域量測資料轉換到頻率域的資料圖表處理需要用到FFT，
那時候就有留下一個印象：

FFT可以將時域資料轉換到頻率域。

但是因為主要方向在FEM，
所以對FFT的認知也就僅此為止。

後來因為工作上的需求，
需要量測時域資料並轉換到頻率域進行分析，
所以才又開始找FFT的資料與處理的方法，
相信有些朋友的狀況應該跟我很類似，
所以把網路上找到的資料整理跟大家分享心得。

要作FFT通常是因為取得一份時域的量測資料，
一般常見的格式是 (t, A)，

t 就是紀錄的時間，sec。

A是記錄到量測值，
例如等一下用來當例子的加速度值，m/sec²。

這個資料要從哪邊來？
當然看各位自己有什麼來源，
基本上有手機的幾乎都有這個資料產生的來源，
可以參考另外一篇：使用手機量測線性加速度。

要作FFT其實可以不要去想寫程式這一類複雜的事情，
也不要去要買甚麼Matlab之類的數學計算軟體，
可以利用大家熟悉的excel功能來完成。

以下以EXCEL 2010為例。
首先需要先開啟(載入)Excel一項“分析工具箱”功能，步驟如下：

1. 點選：左上角"檔案"，選擇下方的"選項"，

2. Excel 選項對話視窗中找到 "增益集"這個項目，選擇後按執行。

3. 會跳出"現有的增益集"對話視窗，
建議可以載入 "分析工具箱"、"分析工具箱-VBA"、"規劃求解增益集"這三個，
也可以全選載入。

4. 載入增益集以後，
就會在功能表的"資料"中看到"分析"，
如下圖示：

再來是準備資料跟處理，
Excel中的 FFT資料數量必須為2的次方，
例如 32、64、128、256、512、1024、2048、4096。

資料量可以多取，盡量超過1024筆，
最好可以到Excel的極限4096筆資料，
如此一來結果的頻率的解析度會比較高。

取樣頻率看儀器的能力與需求，
對高頻來說，取樣頻率越高越好，才能找到高頻的訊號源。
對低頻震動，可以取低一點的取樣頻率，
否則Excel的資料筆數（4096）會不夠涵蓋完整的週期。

有了記錄時域的資料，
就可以使用“資料”-“分析”-“資料分析”指令，
點選後會出現分析工具選擇對話視窗如下：

從其中找到“傅立葉分析”指令，
點選後按下確定，會跳出對話視窗如下：

對話視窗分成兩個部分：輸入與輸出選項，
輸入部份只需選擇記錄的資料部份，
不需要時間的資料，記得資料數量要是2的次方，
例如2^7=128，選擇或輸入從E6欄位到E133欄位。

輸出的部分例如可以選擇輸出到新的活頁簿、工作表或者是現有工作表的不同欄位，
例如輸出到 F6~F133。

傅立葉分析工具對資料欄位的處理不是即時性的，
所以如果欄位資料有更新，
就必須重新執行一次，以取得新的計算結果。

輸出的資料形式是複數型式 (real + image*i)，
所以必需再用IMABS函數取出複數的絕對值，
例如：1+1i，取出來的絕對值相當於 1.414，就是"根號 2"。
若以前述的加速度範例來說，
就是加速度的振幅。

但是要輸出成頻域的圖表時，
還必須計算頻域在圖表X軸向的座標值，
此時就必須要用到資料的時域資料，
例如每隔0.1秒取一次資料，
那取樣頻率就相當於是10 次/秒，
因為取了128筆資料作分析，
所以在圖表X軸上就是10Hz/128=0.078125Hz的頻率解析度。

因為傅立葉分析的特性關係，
資料可以取其中一半來看，
也就是可以看到從 0Hz 到 128/2*0.078125=5Hz 左右的振幅變化。

所以圖表橫軸是0～5Hz，
縱軸是m/sec^2，

從圖表中可以看到特別突起的振幅，
跟對應的頻率值，
從振動的角度來看，
代表在該頻率有一個外部作用力持續提供一個作用力給機構，
使機構在該移動方向獲得一個加速度。

若是使用敲擊方式，那就是測量該位置的自然頻率，振幅值反而是無關緊要。

回過頭來看FFT的一些限制：

(a) 取樣率若是太低，高頻的資料就看不到，所以取樣速率(Sampling rate)須為受測信號最高成分頻率的兩倍或兩倍以上 (Nyquist sampling theorem)；例如信號頻率是 1Hz，那取樣速率至少每秒要有2個以上(2Hz的取樣頻率)。

(b) 取樣週期(取樣時間長度)至少要超過一次以上的週期時間長度，才能取得完整的週期變化資料。

(c) 如果受測信號是隨機的，FFT的結果其實就看不到明顯突出的訊號，所以受測信號必須是週期性的，FFT才有意義。

(d) 取樣數須為 2 的次方個資料。

提供Excel連結範例。

其他相關參考：
手機在振動量測上的應用
用手機量測在高鐵上的振動
振動量測在設備上的應用
Vibration Analysis, MIDE

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