振動學 CH0802 弦或纜繩的垂直振動

8.2 弦或纜繩的垂直振動

Transverse vibration of a string or cable

8.2.1 運動方程式

考慮一個被輕微拉緊，長度為 l ，具有彈性的弦或纜繩，受到一個在垂直方向隨時間改變的單位長度力量 f(x,t) 作用，弦受力作用產生平衡的對應垂直方向變形量為 w(x,t)，如下圖 8.1 (a)所示：

圖片來源：Mechanical Vibration, 5th, by S.S. Rao，以下同

假設小範圍長度 dx 中的變形量很小，變形與力量的平衡狀況如上圖 8.1(b) 所示，可以將運動方程式表示如下：

在這個長度 dx 的小段弦上，P 是弦的張力，ρ 是單位長度的質量，θ 是弦變形後與 弦長度方向 x 的角度。
弦張力的改變量 dP 可以改為跟 dx 有關，以偏微分形式來表示如下公式：

因為是在一段很小的 dx 範圍中，θ 很小，所以 sinθ 可以表示如下公式：

以及：

將 8.2 ~ 8.4 代入到公式 8.1，並消去左右兩側的dx，可以改以偏微分方程式方式表示如下：

假設張力 P 為常數，單位長度質量 ρ(x) 固定不變為常數 ρ，8.5式可以修改如下：

當受力 f(x,t) 為零時，就可以得自由振動的公式，並將 ρ 移項到等號左邊與 P 合併並以 c² 表示來表示：

公式 8.8 又可以稱為"波公式"( wave equation)，其中 c² = P/ρ。

8.2.2 初始與邊界條件

從公式8.5到8.7是二次偏微分方程式，若要求解 w 相對 (x,t) 的值，需要至少兩個邊界條件與兩個初始條件。
弦的初始條件 (t=0) 有一個已知的變形量 w₀(x)，跟 初速度，初始條件可以表示如下：

 

假設弦的邊界條件在其中一端 (x=0) 的位置是固定不動的，在 x=0 的邊界條件可以表示如下：

假設弦的另外一端是固定在一個不能平移，可以上下移動，可以轉動的樞紐點上，如下圖示：

這一個端點可以上下自由移動，所以無法承受並抵抗任何上下方向的作用力，在 x=l 的邊界條件可以表示成：

如果在原點端也是可以自由上下移動跟轉動的，而且弦的張力 P 是常數，也就是公式 8.12中的 P(x)≠0 ，所以在 x=0 的邊界條件就必須是：

假設還有一種邊界條件，末端是可以自由上下移動跟轉動的樞紐點，並接在一個上下方向的彈簧，如下圖 8.3 所示：

那邊界條件可以表示成：

以上是三種經常使用到的邊界條件，當然還有接到阻尼器的狀況或者是彈簧加阻尼器等不同的狀況可以列出不同的邊界條件。

8.2.3 均勻材質弦的自由振動

公式 8.8 的自由振動型式：

可以使用分離變數法來進行求解，將 w(x,t) 改寫成 W(x)T(t) 並代入到公式 8.8 中，改成：

如果在任何獨立位置 x在獨立時間 t 時讓等號左右兩邊相等，等號兩邊必須等於一個常數 (假設是a) ，可以表示如下：

所以可以分別處理公式 8.16 左右兩邊等於常數 a 的關係式並移項如下：

 

這兩個方程式跟之前離散系統的自由振動方程式 x''+ ω² x = 0 型式非常類似，所以如果將 a = -ω² 代入到公式 8.18 & 8.19中，如下：

其解的型式可以表示如下：

其中的 A、B / C、D必須從邊界條件/初始條件計算取得，如下說明。

8.2.4 兩端固定弦的自由振動

兩端固定的弦，為了要滿足這兩個邊界條件 W(0) = 0 跟 W(l) = 0，公式 8.22 中的 A 必須等於 0，所以可以得到以下關係：

因為不可以讓 B 等於 0，否則全部等於 0 就不用解了，所以要讓三角函數項目為 0 ，如下：

如果要讓三角函數 sin X 為零，必須讓  X 等於 nπ，從公式 8.27 可以得到：

使用公式 8.22 && 8.23 代入到 w(x,t)=W(x)T(t) ，可以得到對應到 ω_n 的一組解如下：

其中 C_n 跟 D_n 是任意的常數值， w_n(x,t) 稱為弦的第 n 階振動(或簡諧"harmonic"或正規"normal")模態"mode"。
意義上就是在任一時間點時，弦上各點的位移會以 W_n (=sin nπx/l) 的比例出現，如下圖所示顯示 n=1, 2, 3的在某一時間點時弦的位移狀態：

其中 n=1 時稱為基礎模態"fundamental mode"，此時對應的頻率 ω=cπ/l 稱為基礎頻率"fundamental frequency"，基礎週期 τ₁ = 2π/ ω₁ = 2l/c。

W_n 在某些位置的 x 值時會使 sin nπx/l 等於 0，也就是不管時間怎麼改變，在這個位置 x， 弦都不會產生位移，這個位置 x 稱為節點"node"，從公式跟圖8.4可以發現節點在第 n 階模態時不同的位置與弦長度的比例關係。

實際上的解可以利用模態疊加法(mode superposition method)將這無窮多的模態 w_n(x,t) 全部加總起來，如以下公式：

以上使用模態疊加法計算的結果不論是自由振動或強制振動都適用。

邊界條件決定了 W(x) = W_n (=sin nπx/l)，T(t) 則跟初始條件有關，所以 C_n 跟 D_n 必須由初始條件來計算求得，如下公式：

從公式 8.31 & 8.32， C_n 跟 D_n 是初始條件 w₀(x) 跟 在 0≦x≦l 的傅立葉級數的展開，可以從 x=0 積分到 x=l，公式表示如下：

範例 8.1 弦被拉起、放掉的動態響應 ( dynamic response of a plucked string )

如下圖 8.5，一條弦在中間位置被拉起然後放掉，計算其隨後的動作。

根據公式 8.34，初始速度為 0，Dn = 0，公式 8.30 可以簡化如下：

根據圖8.5，初始位移可以表示如下：

代入公式 8.33，如下：

其中只有 n 為奇數時才有值，代入公式 E1，可以得到位移量的級數如下：

8.2.5 行進波的解

Traveling-Wave Solution

考慮波在x軸的正負方向以速度 c 傳遞前進，可以將公式 8.8 表示如下：

若將上面公式8.35進行微分可以得到：

再將以上公式代回去公式 8.8，可以滿足並成立，因此公式 8.36 跟 8.37是正確的。

對一個給定的問題，函數 w₁跟w₂由初始條件決定，在 t=0，將公式 8.35 代入到公式 8.10，可以得到：

將 8.39 公式進行積分，並將c移到等號右邊可以得到：

由公式 8.38 跟 8.40 相加、相減可以得到：

將 x 改以 (x-ct) 跟 (x+ct)代入，可以得到：

在公式 8.43 中可以知道不需要任何邊界條件即可求得行進波的函數，另外可以將行進波的函數表示為：

其中 w_D(x,t)為在初速為零時，在已知初始位移情況下的行進波， w_V(x,t)在初始位置為零時，在已知初始速度情況下的行進波。

切削原理 CH0404 Shaw's Model

Shaw 的溫度模型是從溫度分布的公式推導而來，並且根據熱源主要產生在剪切面 q₁ 跟切屑與刀具摩擦面 q₂ ，如下圖標示(1)、(2)位置來進行推導。

假設條件如下：
1. 所有在(1) & (2)兩個區域所產生的熱量都轉成熱能
2. 這些熱量發生集中在各自的平面上，如上圖(b)
3. 在(1) & (2)面上的溫度平均分布
4. 不考慮散發到環境中的能量

步驟上就是要先計算出
1. 產生的單位面積熱量， q₁ & q₂
2. 熱量分配的比例係數，R₁  & R₂
3. 剪切面的溫升與溫度
4. 切屑刀具磨擦面的溫升與溫度

但是即使有這些假設條件，計算與評估溫度依然很複雜，原因是：
1. 在剪切面(1)上產生的熱量部分傳遞給切屑，部分傳遞給工件，比例是多少不知道。
2. 在切屑與刀具磨擦面(2)上升的熱量部分傳遞給切屑，部分傳遞給刀具，比例是多少同樣不知道。
因此為了計算因為熱量分布比例對溫度的影響，定義 R₁ 是剪切面(1)上產生熱量傳遞給切屑的比例，所以傳遞給工件的比例是(1- R₁)；定義 R₂ 是磨擦面(2)上產生熱量傳遞給切屑的比例，所以傳遞給刀具的熱量比例是(1- R₂)。

Shaw的模型可以從一個接近無窮大實體(工件或刀具)上的矩形熱源(剪切面或切屑刀具磨擦面)開始推導溫度來估算溫升。

無窮大元件平面上有一個以速度V移動的矩形平面熱源，長寬為 2l*2m ，平面熱源會發出一個單位面積能量 q，如下圖示：

靜態元件接觸面的溫升

可以導出(推導過程略)無窮大元件在與熱源接觸面，如上圖 2m*2l方塊往下的投影面上的平均溫升與最高溫升公式：
平均溫升公式：

其中， q 為單位面積能量，k 為熱傳係數、為計算平均溫升用的面積係數，可以表示為如以下公式：

當 m/l > 20，例如切屑寬度 b 大於切屑在刀具摩擦面上的長度 lc 20倍以上時，面積係數的公式可以進一步簡化為：

最高溫升公式：

其中 q、l、k 的意義跟平均溫度相同，平均面積係數換成最大面積係數Am，當 m/l > 20時，Am係數可以表示為：

不同比例的 m/l 的面積係數可以繪製成如下圖：

移動元件接觸面的溫升

參考前面以速度 V 移動的平面熱源，移動元件與下方靜態元件的接觸面(熱源)上的平均溫升與最大溫升如下：

其中的  q、l、k 定義與靜態熱源相同。
L是無因次的速度參數， L = V*l / 2K。
K是熱擴散係數 (K = k/ρC)。
上面平均溫升與最大溫升公式必需在 m/l >2 跟 L>0.2 的情況下才會成立。

但是因為熱不會全部傳導至刀具或切屑，所以加上比例係數 R 來計算熱傳量導致的溫升變化。
同時考慮在移動元件(例如切屑)與靜態元件(例如刀具)接觸介面上的應該要有溫度連續性，平均溫升應該是相等的，公式可以表示如下：

其中 k₁ 是移動元件(例如切屑)材質的熱傳導係數，k₂ 是靜態元件(例如刀具)材質的熱傳導係數，所以公式移項後可以推導出比例係數R如下：

在導出比例係數後，就可以根據上述的靜態與移動熱源公式計算出切屑與刀具介面上的平均溫升：

範例：
m = 6.35 mm，l = 1.27 mm，切削速度 508 mm/s，作用在面上的正向力為 445 N，磨擦係數 μ為 0.5，熱傳係數 k₁ = 0.2018 W/cm-℃，k₂  =  0.5307 W/cm-℃，熱擴散係數 K₁ =  0.13  cm²/s，計算靜態元件在接觸面上的平均溫升。

首先計算單位面積熱源 q =  P * μ * V / (2l*2m) =  445(N)*0.5*0.508 (m/s) /  4*0.635(cm)*0.127(cm) =  350 J/cm²-s
根據上面的面積係數圖，m/l =  6.35/1.27 = 5，查圖可得面積係數 A 約 1.80
速度係數 L =  V l / 2K =  50.8*0.127 /  2 *0.13 (全部換算成cm單位) =  24.81
將面積係數、速度係數等代入比例計算公式 R =  1 /  {  1 + [0.754*(0.5307/0.2018)] / [1.80*24.81^0.5]} =  0.819
代入平均溫升計算公式，平均溫升 = 0.754 * R q l / (K1*L^0.5) = 0.754*0.819*350*0.127 / (0.2018*4.98) = 27.31℃

剪切面上的溫升

首先要估算剪切面上的熱量產生，假設剪切力 Fs，剪切角 ψ，沿著剪切面的速度 Vs，如下圖示：

因此剪切面上單位面積產生的熱量 q₁ 可以表示如下：

加入比例係數 R₁ (剪切面上產生熱量傳遞到切屑的比例 R₁ )可以得到溫度的公式如下：

另外估算傳遞到工件的熱量溫度公式如下：

其中 L₁ 是剪切面的長度係數：

其中的 t 為未變形切屑厚度，γ 為切屑的應變量，V 為切削速度，K₁  是工件材料的熱擴散係數。

同樣的兩個元件在接觸面(剪切面)上的溫度應該是相等的，可以根據兩個溫度計算公式可以導出  R₁

根據速度 V、未變形切屑厚度 t、切屑應變量γ及熱擴散係數  K₁ 的值可以繪製出 R₁ 圖表：

求出 R₁ 加上其他條件代入以上公式就可以計算出剪切面上的溫度。


切屑與刀具面上的溫升

同樣的估算在切屑刀具面上的磨擦所產生的熱能  q₂  可以表示如下公式：

其中 Ff 是刀具面上的磨擦力，Vchip是切屑相對刀具的移動速度，a 是切屑在磨擦面上與刀具接觸的長度 (lc)，b 是切屑寬度(w)，對公制單位 J = 1

參考前述公式，可以得到刀具上與切屑接觸面平均溫升如下公式：

其中 L₂ 是速度係數，可以參考前述公式表示如下：

從前面剪切面上的溫度加上前述導出在切屑上與刀具接觸面的平均溫升如下：

從前述移動熱源公式也可以得到刀具面上的平均溫度如下：

同樣由以上兩式可以移項計算比例係數R2如下：

若將 q₂ 、 L₂ 跟  K₂ 代入，可以得到  R₂ 公式如下：

 R₂ 的值比較麻煩，跟剪切面的溫度有關，其他材料的性質也會因為不同溫度的不同材料性質而有影響，有時必須計算多次以確認使用的參數與計算出來的結果溫度是相符合或在可以接受的誤差範圍內。

有了 R₁ &  R₂ 以及其他切削條件量測值就可以計算切屑刀具面上的平均溫升跟溫度。

範例：
工件材質 AISI 1113，材料的熱性質隨溫度變化的資料如下圖所示：

刀具材料：K2S，傾角α=20度、餘隙角5度，正交切削。
切削速度 V = 193 m/min = 2.317 m/s
未變形切削厚度 t = 0.06 mm，切屑厚度比 r = 0.51
切削寬度 b = 3.84 mm
切屑在刀具上的接觸長度 a = 0.23 mm。
切削力 Fc = 356 N，切削推力 Ft = 125 N。
計算切削時(1)剪切面與(2)切屑刀具接觸面的平均溫度。

(1) 剪切面平均溫度
可以使用公式：

t = 0.006cm、熱傳導係數 k₁可以查表，假設剪切面溫度約260℃，k₁= 0.5847 J/cm-s-℃
需要計算 R₁、q₁、L₁、跟ψ，
需計算比例係數 R₁，公式如下：

熱擴散係數 K₁ 可以查表  K₁ = 0.1484  cm²/s，V = 2.317 m/s，剪切應變 γ 可由以下公式計算求得：
γ = cot ψ +  tan(ψ-α) =  cot 30.14 +  tan(30.14-20) =  1.90
R₁ = 1 / (1+1.328*(0.1484*1.90/(231.7*0.006))^0.5) = 0.626

需計算單位面積熱源q₁，公式如下：

剪切角 ψ =  tan^-1 (r cosα/ (1 - r*sinα)) =  tan^-1 (0.51 cos 20/ (1 - 0.51*sin 20)) = 30.14度
剪切作用力 Fs = Fc cosψ- Ft sinψ = 356 * cos 30.14 - 125 * sin 30.14 = 245 N
剪切速度 Vs = V * sin  ψ*  γ =2.317 * sin 30.14*  1.90 = 2.212 m/s
t = 0.006 cm，b = 0.384 cm，公制單位 J = 1
q₁ = Fs * Vs / tb cscψ=  245 *  2.212 /  0.006*0.384 *  sin 30.14 =  118139 W/cm²

需計算速度係數 L₁ = V*γ*t / 4*K₁ = 231.7 * 1.90 * 0.006 / 4*0.1484 = 4.45

代入剪切面平均溫度公式
溫升 = 0.754 *(1-0.626)*118139*(0.006*csc30.14 /2) / 0.5487 / 4.45^0.5 = 161 ℃
假設環境溫度為 23℃，剪切面上的溫度為 184℃

(2) 切屑與刀具摩擦面平均溫度

剪切面上的溫度為184℃，計算磨擦面上的溫升，a 為切屑在刀具面上磨擦的長度 a=0.023cm ，k₂ 為切屑的熱傳導係數，基本上跟工件相同，不考慮溫度差異，先假設 k₂ = 0.5847  J/cm-s-℃，需要計算 R₂、q₂、L₂
計算 R₂ 如以下公式：

其中 面積係數需根據 m/l 求得，m=b/2=0.384/2，l=a/2=0.023/2，m/l = 0.384/0.023 = 16.7，面積係數約等於2.6，如下圖示：

需計算 q₂ 公式如下：

u_f  = Ff * r/bt ， Ff = Fc*sin α + Ft * cosα = 239 N，r=0.51，b=0.384cm，t=0.006cm，u_f = 239 * 0.51 / 0.384*0.006 = 52953 N/cm³
q₂  = 52953 * 2.317 * 0.006/0.023 = 32006 N/cm²
需計算 L₂ 公式如下：

其中Vchip = V * r = 231.7*0.51 = 118 cm/s，K₂ = K₁ = 0.1484  cm²/s， L₂ = 118*0.023/2/4/0.1484 = 2.29
k3為刀具的熱傳導係數，材質K2S，一般WC熱傳導係數約 1.1 W/cm-℃，
將以上資料代入 R₂ 公式，可以得到 R₂ = 0.769，代入平均溫度公式可以求得溫升為241℃，切屑刀具磨擦面上的平均溫度為425℃。

範例計算Excel檔案連結

以上的計算要注意所使用的材料性質與計算出來的溫度是否符合？如果不符合，應該修該熱傳導係數跟熱擴散係數再行計算，直到材料性質誤差符合溫度的假設。