切削原理 CH0404 Shaw's Model

Shaw 的溫度模型是從溫度分布的公式推導而來，並且根據熱源主要產生在剪切面 q₁ 跟切屑與刀具摩擦面 q₂ ，如下圖標示(1)、(2)位置來進行推導。

假設條件如下：
1. 所有在(1) & (2)兩個區域所產生的熱量都轉成熱能
2. 這些熱量發生集中在各自的平面上，如上圖(b)
3. 在(1) & (2)面上的溫度平均分布
4. 不考慮散發到環境中的能量

步驟上就是要先計算出
1. 產生的單位面積熱量， q₁ & q₂
2. 熱量分配的比例係數，R₁  & R₂
3. 剪切面的溫升與溫度
4. 切屑刀具磨擦面的溫升與溫度

但是即使有這些假設條件，計算與評估溫度依然很複雜，原因是：
1. 在剪切面(1)上產生的熱量部分傳遞給切屑，部分傳遞給工件，比例是多少不知道。
2. 在切屑與刀具磨擦面(2)上升的熱量部分傳遞給切屑，部分傳遞給刀具，比例是多少同樣不知道。
因此為了計算因為熱量分布比例對溫度的影響，定義 R₁ 是剪切面(1)上產生熱量傳遞給切屑的比例，所以傳遞給工件的比例是(1- R₁)；定義 R₂ 是磨擦面(2)上產生熱量傳遞給切屑的比例，所以傳遞給刀具的熱量比例是(1- R₂)。

Shaw的模型可以從一個接近無窮大實體(工件或刀具)上的矩形熱源(剪切面或切屑刀具磨擦面)開始推導溫度來估算溫升。

無窮大元件平面上有一個以速度V移動的矩形平面熱源，長寬為 2l*2m ，平面熱源會發出一個單位面積能量 q，如下圖示：

靜態元件接觸面的溫升

可以導出(推導過程略)無窮大元件在與熱源接觸面，如上圖 2m*2l方塊往下的投影面上的平均溫升與最高溫升公式：
平均溫升公式：

其中， q 為單位面積能量，k 為熱傳係數、為計算平均溫升用的面積係數，可以表示為如以下公式：

當 m/l > 20，例如切屑寬度 b 大於切屑在刀具摩擦面上的長度 lc 20倍以上時，面積係數的公式可以進一步簡化為：

最高溫升公式：

其中 q、l、k 的意義跟平均溫度相同，平均面積係數換成最大面積係數Am，當 m/l > 20時，Am係數可以表示為：

不同比例的 m/l 的面積係數可以繪製成如下圖：

移動元件接觸面的溫升

參考前面以速度 V 移動的平面熱源，移動元件與下方靜態元件的接觸面(熱源)上的平均溫升與最大溫升如下：

其中的  q、l、k 定義與靜態熱源相同。
L是無因次的速度參數， L = V*l / 2K。
K是熱擴散係數 (K = k/ρC)。
上面平均溫升與最大溫升公式必需在 m/l >2 跟 L>0.2 的情況下才會成立。

但是因為熱不會全部傳導至刀具或切屑，所以加上比例係數 R 來計算熱傳量導致的溫升變化。
同時考慮在移動元件(例如切屑)與靜態元件(例如刀具)接觸介面上的應該要有溫度連續性，平均溫升應該是相等的，公式可以表示如下：

其中 k₁ 是移動元件(例如切屑)材質的熱傳導係數，k₂ 是靜態元件(例如刀具)材質的熱傳導係數，所以公式移項後可以推導出比例係數R如下：

在導出比例係數後，就可以根據上述的靜態與移動熱源公式計算出切屑與刀具介面上的平均溫升：

範例：
m = 6.35 mm，l = 1.27 mm，切削速度 508 mm/s，作用在面上的正向力為 445 N，磨擦係數 μ為 0.5，熱傳係數 k₁ = 0.2018 W/cm-℃，k₂  =  0.5307 W/cm-℃，熱擴散係數 K₁ =  0.13  cm²/s，計算靜態元件在接觸面上的平均溫升。

首先計算單位面積熱源 q =  P * μ * V / (2l*2m) =  445(N)*0.5*0.508 (m/s) /  4*0.635(cm)*0.127(cm) =  350 J/cm²-s
根據上面的面積係數圖，m/l =  6.35/1.27 = 5，查圖可得面積係數 A 約 1.80
速度係數 L =  V l / 2K =  50.8*0.127 /  2 *0.13 (全部換算成cm單位) =  24.81
將面積係數、速度係數等代入比例計算公式 R =  1 /  {  1 + [0.754*(0.5307/0.2018)] / [1.80*24.81^0.5]} =  0.819
代入平均溫升計算公式，平均溫升 = 0.754 * R q l / (K1*L^0.5) = 0.754*0.819*350*0.127 / (0.2018*4.98) = 27.31℃

剪切面上的溫升

首先要估算剪切面上的熱量產生，假設剪切力 Fs，剪切角 ψ，沿著剪切面的速度 Vs，如下圖示：

因此剪切面上單位面積產生的熱量 q₁ 可以表示如下：

加入比例係數 R₁ (剪切面上產生熱量傳遞到切屑的比例 R₁ )可以得到溫度的公式如下：

另外估算傳遞到工件的熱量溫度公式如下：

其中 L₁ 是剪切面的長度係數：

其中的 t 為未變形切屑厚度，γ 為切屑的應變量，V 為切削速度，K₁  是工件材料的熱擴散係數。

同樣的兩個元件在接觸面(剪切面)上的溫度應該是相等的，可以根據兩個溫度計算公式可以導出  R₁

根據速度 V、未變形切屑厚度 t、切屑應變量γ及熱擴散係數  K₁ 的值可以繪製出 R₁ 圖表：

求出 R₁ 加上其他條件代入以上公式就可以計算出剪切面上的溫度。


切屑與刀具面上的溫升

同樣的估算在切屑刀具面上的磨擦所產生的熱能  q₂  可以表示如下公式：

其中 Ff 是刀具面上的磨擦力，Vchip是切屑相對刀具的移動速度，a 是切屑在磨擦面上與刀具接觸的長度 (lc)，b 是切屑寬度(w)，對公制單位 J = 1

參考前述公式，可以得到刀具上與切屑接觸面平均溫升如下公式：

其中 L₂ 是速度係數，可以參考前述公式表示如下：

從前面剪切面上的溫度加上前述導出在切屑上與刀具接觸面的平均溫升如下：

從前述移動熱源公式也可以得到刀具面上的平均溫度如下：

同樣由以上兩式可以移項計算比例係數R2如下：

若將 q₂ 、 L₂ 跟  K₂ 代入，可以得到  R₂ 公式如下：

 R₂ 的值比較麻煩，跟剪切面的溫度有關，其他材料的性質也會因為不同溫度的不同材料性質而有影響，有時必須計算多次以確認使用的參數與計算出來的結果溫度是相符合或在可以接受的誤差範圍內。

有了 R₁ &  R₂ 以及其他切削條件量測值就可以計算切屑刀具面上的平均溫升跟溫度。

範例：
工件材質 AISI 1113，材料的熱性質隨溫度變化的資料如下圖所示：

刀具材料：K2S，傾角α=20度、餘隙角5度，正交切削。
切削速度 V = 193 m/min = 2.317 m/s
未變形切削厚度 t = 0.06 mm，切屑厚度比 r = 0.51
切削寬度 b = 3.84 mm
切屑在刀具上的接觸長度 a = 0.23 mm。
切削力 Fc = 356 N，切削推力 Ft = 125 N。
計算切削時(1)剪切面與(2)切屑刀具接觸面的平均溫度。

(1) 剪切面平均溫度
可以使用公式：

t = 0.006cm、熱傳導係數 k₁可以查表，假設剪切面溫度約260℃，k₁= 0.5847 J/cm-s-℃
需要計算 R₁、q₁、L₁、跟ψ，
需計算比例係數 R₁，公式如下：

熱擴散係數 K₁ 可以查表  K₁ = 0.1484  cm²/s，V = 2.317 m/s，剪切應變 γ 可由以下公式計算求得：
γ = cot ψ +  tan(ψ-α) =  cot 30.14 +  tan(30.14-20) =  1.90
R₁ = 1 / (1+1.328*(0.1484*1.90/(231.7*0.006))^0.5) = 0.626

需計算單位面積熱源q₁，公式如下：

剪切角 ψ =  tan^-1 (r cosα/ (1 - r*sinα)) =  tan^-1 (0.51 cos 20/ (1 - 0.51*sin 20)) = 30.14度
剪切作用力 Fs = Fc cosψ- Ft sinψ = 356 * cos 30.14 - 125 * sin 30.14 = 245 N
剪切速度 Vs = V * sin  ψ*  γ =2.317 * sin 30.14*  1.90 = 2.212 m/s
t = 0.006 cm，b = 0.384 cm，公制單位 J = 1
q₁ = Fs * Vs / tb cscψ=  245 *  2.212 /  0.006*0.384 *  sin 30.14 =  118139 W/cm²

需計算速度係數 L₁ = V*γ*t / 4*K₁ = 231.7 * 1.90 * 0.006 / 4*0.1484 = 4.45

代入剪切面平均溫度公式
溫升 = 0.754 *(1-0.626)*118139*(0.006*csc30.14 /2) / 0.5487 / 4.45^0.5 = 161 ℃
假設環境溫度為 23℃，剪切面上的溫度為 184℃

(2) 切屑與刀具摩擦面平均溫度

剪切面上的溫度為184℃，計算磨擦面上的溫升，a 為切屑在刀具面上磨擦的長度 a=0.023cm ，k₂ 為切屑的熱傳導係數，基本上跟工件相同，不考慮溫度差異，先假設 k₂ = 0.5847  J/cm-s-℃，需要計算 R₂、q₂、L₂
計算 R₂ 如以下公式：

其中 面積係數需根據 m/l 求得，m=b/2=0.384/2，l=a/2=0.023/2，m/l = 0.384/0.023 = 16.7，面積係數約等於2.6，如下圖示：

需計算 q₂ 公式如下：

u_f  = Ff * r/bt ， Ff = Fc*sin α + Ft * cosα = 239 N，r=0.51，b=0.384cm，t=0.006cm，u_f = 239 * 0.51 / 0.384*0.006 = 52953 N/cm³
q₂  = 52953 * 2.317 * 0.006/0.023 = 32006 N/cm²
需計算 L₂ 公式如下：

其中Vchip = V * r = 231.7*0.51 = 118 cm/s，K₂ = K₁ = 0.1484  cm²/s， L₂ = 118*0.023/2/4/0.1484 = 2.29
k3為刀具的熱傳導係數，材質K2S，一般WC熱傳導係數約 1.1 W/cm-℃，
將以上資料代入 R₂ 公式，可以得到 R₂ = 0.769，代入平均溫度公式可以求得溫升為241℃，切屑刀具磨擦面上的平均溫度為425℃。

範例計算Excel檔案連結

以上的計算要注意所使用的材料性質與計算出來的溫度是否符合？如果不符合，應該修該熱傳導係數跟熱擴散係數再行計算，直到材料性質誤差符合溫度的假設。