振動學 CH0803 柱或桿的軸向振動

8.3 Longitudinal vibration of a bar or rod

8.3.1 運動方程式

Equation of motion and solution

具有變動斷面積 A(x) 的桿件，在軸向上受到作用力 P(x)，如下圖(a)所示：

取其中一小段長度 dx ，其受力與變形量的關係如上圖(b)可以表示如下公式：

其中 E 是材料的楊氏係數。

其運動方程式可以表示如下：

其中 f = f(x,t)為任一位置 x 截面在時間 t 時的作用力函數，ρ 是質量密度。

參考前例弦，將 dP 以 x 作偏微分，並將 P 以公式 8.45取代代入 8.46式，可以改寫公式如下：

如果斷面積 A(x) 為常數 A，8.47公式可以簡化如下：

對自由振動來說，f = 0，公式 8.48 左右兩側消去 A，並將 ρ 移到等號右側，並令 c² = E/ρ ，可以改寫如下：

參考前一節弦振動的解法，桿的位移公式 u 可以表示如下：

其中省略了級數的表示，同樣的，邊界條件 u 可以解出 A & B，初始條件可以用來解出 C & D。

不同邊界條件情況，對應的解如下圖所示：

範例 8.2 桿的邊界條件 

Boundary conditions for a bar

固定截面積 A，長度 l，材料楊氏係數 E 的桿件，頭尾端各連接一組彈簧 k、阻尼 c 與質量 m，如下圖(a)所示：

兩個質量的自由體圖如上圖(b)所示，左端的力平衡程式可以表示如下：

右端的力平衡方程式可以表示如下：

8.3.2 正規方程式的正交性

Orthogonality of normal functions

Ui(x) 跟 Uj(x)分別為第 i 跟第  j 個對應到自然頻率 ω_i 跟 ω_j 的正規方程式，u = Ui(x)T(t) 跟 u = Uj(x)T(t)，將 i , j 兩個分別代入公式8.49，可以得到以下的表示公式：

將公式 8.54 * Uj(x) 減掉 公式8.55 * Ui(x)，並移項後對 x 進行 0~l 積分後可以得到以下公式：

將任意的邊界條件代入以上公式，可以得到右邊項目為 0 ，留下 Ui(x) 跟 Uj(x) 正交性的結果：

範例 8.3 一端固定一端自由的桿自由振動
Free vibration of a fixed-free bar

固定端邊界條件： u(0,t) = 0
自由端邊件條件： 

觀察公式：

將邊界條件 u(0,t) = 0 代入，可以得到 A 為 0
將邊界條件 代入，可以得到 B 不能為零，sin (ωx/c) 的微分 cos (ωx/c) 必須為 0，可以得到  ω_nl/c = (2n+1)*π/2，所以自然頻率如下：

代入公式8.49可以得到：

其中 C_n 跟 D_n 必須從初始條件進行計算，可表示如下：

範例 8.4 桿末端帶一質量的自然頻率

Natural frequency of a bar carrying a Mass

如下圖：一端固定，一端自由移動攜帶一個集中質量M的桿模型：

固定端邊界條件 u(0,t) = 0，會使公式8.49的 A 為0

在自由端因為附加一個集中質量 M，所以不能使用這個邊界條件，必須考慮質量所帶來的力量效應，考慮末端的力量跟集中質量的力平衡，公式如下：

將公式 8.51帶入上述E.2公式，可以得到：

左右消去相同項目，並簡化移項後可以得到：

不同質量的比例 β 可以得到不同 α  ，如下表前兩個自然頻率所示：

當桿的質量遠小於桿末端的質量時，整個系統會變成一開始所介紹的離散系統單一質量 M，等效彈簧係數 k 為桿性質 EA/l 的狀態。

範例 8.5 受初始力作用的桿振動

 Vibrations of a bar subjected to initial force
桿一端固定，另一端為自由端受一個初始力量作用，如下圖示：

受力 F₀ 作用，會使桿末端具有一個初始位移，可以表示為如下：

同時因為靜止不動，所以初始速度為 0

因為一端為固定、一端為自由移動，所以可以使用範例8.3的結果：

自由端的初速度為 0，所以D_n 必須為 0，至於 C_n 可以將公式 E.1 代入 C_n 的計算公式如下：

再將 C_n 代入公式 E.3可以得到：

由公式 E.3 跟 E.5 可以觀察得到：

振幅為：
頻率為：