輸入圖表產生器

輸入圖表產生器英文版的名稱為 Input Grapher，
接下來的重點在介紹對話視窗裡面要怎麼設定？跟設定的意義何在？

說實在話，我覺得這個部分當初設計程式的人做得蠻不錯的，
使用者可以透過這個介面輸入需要的資料。

要把每一項解釋完會有點小複雜，需要有點耐心看完，
如果看不懂一定是我寫的不夠清楚，就請留言提醒或詢問，謝謝。"

輸入圖表產生器會用在許多地方，
基本只要在對話視窗中有看到以下的圖案，就是可以啟用輸入圖表產生器。

前面已經用到的例子是用在說明"強制運動"的時序與位置關係設定，
但是如前述，輸入圖表產生器可以用在許多地方，
只要是在動力學模擬環境中需要設定的數值，幾乎都可以用。

說起來好像很多地方可以用到，
但是其實最主要需要輸入的就是在接頭的性質跟負載的力、扭矩這幾項中可以設定而已，也是最主要的輸入條件。

一般的輸入圖表產生器對話視窗如下"接合力"圖所示：

標準接頭性質內部力量的接合力輸入圖表產生器

整個對話視窗左上角會顯示目前設定的項目名稱，例如上圖是"接合力"。
往下是圖表區，顯示目前設定值得函數圖形，上圖中變數為"時間(s)"，函數值為力量 "(N)"。

圖表區下左上方有一個"參考"，這個"參考"其實是用來指定變數，也就是函數的變數可以不是"時間(s)"，可以指定為其他的變數項目如下：

可以參考的變數，基本上是輸出圖表產生器中的所有計算結果，甚至可以是使用者自己定義的變數
實際應用時所有接頭中的數值均可以指定為參考變數

唯一不能修改參考變數的設定項目是強制運動，
強制運動的變數只能是時間，如下圖所示：

強制運動的輸入圖表產生器

注意強制運動與一般輸入圖表產生器的差別：
1. 參考不能設定
2. 多了顯示"位置"、"速度"、"加速度"三個選項，其中因為設定項目為"位置"，所以會強制顯示。
3. 曲線規則少了"公式"一項可以選。

參考
變數的參考從時間改為其他變數的應用舉例來說，
例如設定靜摩擦與動摩擦係數。
通常元件開始移動後會比靜止不動時的摩擦係數小，
所以可以把速度當作參考變數，
只要速度小於一個臨界值以下，就設定為較大的靜摩擦係數，
超過臨界值就設定為動摩擦係數，如下圖所示：

乾摩擦係數的輸入圖表產生器

上圖中設定得意義說明如下：
當速度小於 10mm/s 以下時，乾摩擦係數等於 0.3。
當速度大於 20 mm/s 以上時，乾摩擦係數等於 0.24。
至於速度介於 10~20 mm/s之間就讓乾摩擦係數呈線性變化，斜率為 -0.006 s/mm。
實務上，可以評估真正的主要運動速度範圍，讓線性變化區域幾乎不會有任何影響，就可以達到相當於不動時為靜磨擦係數 0.3，動磨擦係數為 0.24 的設定效果。

更進一步的延伸應用，可以指定參考變數到或超過、小於某個值，
讓某個設定值啟用或歸零，將輸入圖表產生器當作一個開關啟用某些力量作用來使用。

參考下方的四個按鈕

由左到右分別是：
1. 縮放窗選：使用滑鼠左鍵窗選要放大顯示的區域，放大後，可以在圖表區中按下滑鼠右鍵選擇"縮放全部"恢復。
2. 清除曲線定義：將設定清除，包括參考變數會回復到預設的 "時間(s)"。
3. 載入曲線：顧名思義，可以讀取曲線設定檔，檔案格式為cgd，是一種壓縮格式的檔案，目前找不到其他可以開啟或編輯的軟體，只能用Inventor動力學模擬進行儲存與載入。
4. 儲存曲線：將目前的曲線定義儲存為cgd格式。

在強制運動的輸入圖表產生器中獨有的"顯示"：

可以用來選擇是否要同時顯示預設值外的數值，
基本上速度是位置的微分，加速度是速度的微分，
位置是速度的積分，速度是加速度的積分，
所以位置、速度、加速度只要設定其中一個，
勾選顯示，軟體就會自動進行微分或積分顯示關聯的數值。

起點 X1 & Y1，結束點 X2 & Y2：

用來設定某區段的起始點與結束點的函數(Y)與變數值(X)，
軟體會自動調整 X1 & Y1為前一段的結束點，無法任意指定，
所以除了第一段以外，其他建議只要改結束點的值。


區段的性質
最複雜的部份，還好多數情況僅需要用到最簡單的部分。

作用中 / 自由 / 條件：
有兩種狀況：
當設定強制運動時：

"作用中"表示強制在該時段中無論如何都要強迫元件依設定值進行運動
"條件"跟"自由"是連動的，"自由"是不能選的；
當設定條件符合時，會抑制強制運動，也就是讓元件回復自由運動狀態，依據受力條件進行運動，但是若條件不符合時，還是會依照圖表設定值進行強制運動。

設定力量或其他項目時：

"作用中"會強迫依據設定曲線套用數值
"自由"則是曲線無作用
"條件"則是僅當條件成立時，曲線設定值才有作用，不然就無作用，條件的狀況跟強制運動剛好相反。

曲線的規則

其實就是該區段線的公式，總共有十種線形公式可以選擇進行設定：
線性斜坡、立方斜坡、擺線、正弦、多項式、調和、修改正弦、修改梯形、雲形線、公式，在強制運動中不能使用公式進行設定。
選了以後要記得按向右的箭頭符號指定到規則中。

接下來說明幾個曲線規則。

線性斜坡 (Linear Ramp)
這一個公式最簡單，基本上就是一條直線，公式可以寫為：Y = aX + b，a 是斜率，b 是該區段的初始值如下圖示：

對比到公式 Y=aX+b，a為斜率 = 2000 mm/s，b 為初始值 (Y1) = 50mm

將第一段的強制運動模擬的位置輸出到 Excel 檔
利用 Excel 的趨勢線功能可以找出這一段線的公式就是 y = 2000x + 50

立方斜坡 (Cubic Ramp)
依照軟體說明網頁資料，Cubic ramp是一個三階函數，一般了解到的公式應該是 Y = a₁ X³ + a₂ X² + a₃ X + a₄ 的形式，所以將線性斜坡的範例的第一段修改為立方斜坡如下：

第一段為立方斜坡

將結果位置輸出到 Excel 檔，一樣加上趨勢線，使用三階函數，公式如圖示

模擬結果的速度與加速度輸出圖形

很明顯的位置經過兩次微分後的加速度結果，還保留有一次項的變化，將Excel的結果趨勢線公式做兩次微分，可以得到加速度的公式：加速度 A = -150000 x + 30000，跟輸出結果圖形吻合。

擺線 (Cycloid)
所謂擺線指得是一個圓(滾動圓)在直線(底線)上滾動(沒有滑動現象)時，在圓上的點所描繪的軌跡線，稱為擺線 (Cycloid)，
圓內部的點描繪出來的軌跡稱為短擺線 (Curtate cycloid)，
圓外部點描繪出來的軌跡成為長擺線 (Prolate cycloid)，
短擺線跟長擺線又可以合稱為次擺線(Trochoid)。

擺線(黑)、短擺線(紅)、長擺線(藍)

如果滾動圓(直徑較小)是繞著另外一個大圓(直徑較大)的外部轉動，
滾動圓上的點所描繪出來的軌跡稱為外擺線(Epicycloid)，
如果是在大圓的內部轉動，描繪出來的軌跡稱為內擺線 (Hypocycloid)；
同樣的在滾動圓的內外部的點描繪出來的軌跡可以分別稱為外次擺線 (Epitrochoid) 跟內次擺線 (Hypotrochoid)。

內擺線、內次擺線&外擺線、外次擺線
控制大小圓的比例就可以控制軌跡的週期圈數

如果繼續延伸在其他曲線上滾動，那就會有很多沒完沒了的變化，
還好數量最多的主要應用是滾動圓在直線上的擺線，也是最簡單的擺線。
因為圓周的關係，擺線基本上可以視為一種週期變化的曲線，加上可以用三角函數來表示，所以其實也可以算是三角函數曲線的延伸，例如 x = a(t-sin t)，y =  a(1-cos t)；這裡的 x 跟 y 指得是軌跡點距離原出發點的距離，跟輸入圖表產生器的 X(參考變數) & Y(設定值)不完全相同。

至於為什麼要用擺線？
在不同領域有不同的需求，
例如齒輪齒型嚙合好(幾何)，
依重力沿擺線滾落下降速度最快(最速降性質)，擺線鐘(等時性質)，
進一步資料可以參考網頁：幾何學中的海倫。

所以在Inventor動力學模擬中甚麼情況要用到擺線？
我目前也不知道，但是畫這種塗還蠻有趣的，
有想到甚麼實務上的用途，歡迎留言告訴我。

上述直線運動的範例，將第一區段的線型規則改為擺線如下圖示：

第一段使用擺線曲線進行強制運動

輸出結果的位置變化曲線，擺線在中間階段的速率比較高
前後段的加減速變化也明顯不同

擺線模式下的速度與加速度變化
有三角函數的特性，微分後相位差90度

調和 (Harmonic)
Harmonic翻譯成"調和"其實不太合適，
以背後的數學公式概念來說，應該翻譯成"簡諧"會比較好，
因為這條線是利用正弦跟餘弦三角函數產生的，
曲線的值跟立方斜坡很接近，
設定跟線性斜坡、立方斜坡、擺線很像，
就是直接選然後套用即可，如下圖示：

第一段使用"調和"曲線設定強制運動的位置變化

模擬結果的位置輸出數值
"調和"的值介於"擺線"跟"立方斜坡"之間，跟"立方斜坡"的值非常的接近

速度與加速度的輸出
從加速度的值，就可以很明顯比較出與"立方斜坡"的不同
立方斜坡的加速度是一條直線
以加減速度來說，調和應該會比立方斜坡有效率
在接近靜止的頭尾段加減速度變化也比較緩和

修改正弦 (Modified sine)
顧名思義應該是用正弦函數去產生曲線，
補充前面沒有提到的，
這些曲線的不同產生方式有一個重點就是在於如何銜接頭尾，讓變化可以更順暢，
"修改正弦"設定也很簡單，選擇然後套用即可，模擬結果如下：

"修改正弦"的結果介於"擺線"跟"調和"的中間

看加速度曲線跟"調和"比，在頭尾段的加減速度變化更加緩和

修改梯形 (Modified trapezoid)
完全不知道後面公式在搞甚麼，所以直接設定，很簡單選擇套用就可以：

第一段使用"修改梯形"

"修改梯形"的曲線介於"擺線"跟"修改正弦"的中間
中間段幾乎跟"擺線"疊在一起
頭尾段則跟"修改正弦"很接近

從加速度的圖形曲線就更明顯可以看出跟前面幾種曲線的差異

雲形線 (Spline)
雲形線是設計上經常拿來使用的線形，
相較於前面提到的幾種線形，雲形線多了可以調控與頭尾端相接曲線的斜率設定功能，設定方法如下圖：

雲形線可以設定與頭尾段相接的曲線斜率
上面的例子第一段從靜止開始，接第二段的靜止狀態，斜率(速度)都是0，速度有連續性。

雲形線在哪？
因為雲形線本身也是一條三次方的曲線，當前後銜接處的曲線斜率為零的時候
雲形線跟立方斜坡是相同的雲形線比立方斜坡多了可以調控頭尾端的斜率

設定雲形線的模擬結果輸出結果
從加速度曲線可以明顯看出使用的是三次方曲線

以上這七種曲線，對於點到點的線性設定效果有點類似，
除了"線性斜坡"是固定斜率以外，
其他的設定差別都在於頭尾端的斜率變化情況，
設計人員還是要能夠掌握這幾條曲線的差異，配合需要取得最好的設定。

接下來的幾條曲線規則設定的狀況就跟上面的曲線不同，
在點到點之間斜率的變化可以做到很劇烈。

正弦 (Sine)
三角函數的正弦函數 y = a*sin (nx+θ)，軟體中的設定如下圖示：

在0.4 到0.6 秒中間再加入兩個點(0.45 & 0.55秒)，用來設定正弦型式的強制運動

a 就是幅度(振幅)；n 是週期，等於頻率的倒數 = 1/f ；相位 θ = 0 deg，正弦(sine) +90 deg = 餘弦 (cosine) 0 deg。
如上圖圖示，在0.45秒開始，從既有的位置 (850mm，參考前面)，到 0.55秒，在0.1秒內，振幅幅度 a = 100mm，頻率 f = 20 Hz，n=1/20=0.05，相位 θ=0 deg。
可以利用圖表的窗選放大功能來檢視正弦的部分會更清楚：

正弦段圖表圖形放大圖

時間調整為五秒

很明顯正弦的狀況跟前述的線性斜坡、立方斜坡到雲形線的差異還蠻大的，所以在曲線特性不會拿來做比較。

規則疊加
"規則"的另外一種少見的應用
一般是在一個線區段內指定一種線的型式，
但是Inventor動力學模擬也支援將在一個線區段內疊加不同的線型式，
例如在工程數學中的傅立葉級數是將多個不同振幅、週期、相位的正弦或餘弦函數進行疊加，用以模擬力量、訊號等等，
例如取區段為0.5秒，給予不同振幅幅度與頻率：a1=50mm & 2 Hz (T=0.5 sec)，a2=25mm & 4Hz (T=0.25 sec)，a3=12.5mm & 8 Hz (T=0.125 sec)，a4=12.5mm & 10Hz(T=0.1 sec)等等，曲線圖形分別如下：

四種振幅幅度與頻率的正弦曲線

如果把這四個曲線疊加，總振幅幅度 = 50 + 25 +12.5 + 12.5 = 100mm，曲線形狀如下：

四種正弦曲線的疊加曲線

理論上不論是何種波形都有機會可以用傅立葉級數進行疊加逼近。

要疊加規則的方法也很簡單，
如上圖中的紅色框選"+"號，每點選一次就可以增加一個疊加的規則，
所有的線形都可以進行疊加，因此可以用來模擬複雜的輸入條件，
不過實際上很少看到人這樣子用，知道可以這樣用的人也很少。

多項式 (Polynomial)
多項式的公式： y = a5*x⁵ + a4*x⁴ + a3*x³ + a2*x² + a1 x + a0。
使用者可以自行輸入各系數項an來指定公式；
通常不太容易透過解析計算方式獲得這些係數項，
所以另外有一個方法是可以載入數據點，然後指定要使用的階數 n (xⁿ)，讓軟體協助計算出各係數項。
例如 (x,y)如下：

0	50
0.1	30
0.2	25
0.3	50
0.4	100
0.5	350
0.6	850
0.7	200
0.8	100
0.9	75
1	0

將資料存成txt檔，使用 5階作計算可以得到如下圖示的係數項目：

透過多項式公式可以做出更複雜的曲線，
但是說實在的，用到的機會好像不多，
可能會用在實際上的量測資料轉換到軟體中，
透過多項式係數計算的設定，讓點跟點之間的資料更平滑，
一般機械上用到的機會不多。

公式 (Formula)
待續...